Гиперболические числа

О гиперкомплексных числах параболического типа см. дуальные числа

Гиперболические числа, или двойны́е чи́сла, паракомпле́ксные чи́сла, расщепля́емые компле́ксные чи́сла, компле́ксные чи́сла гиперболи́ческого ти́па, контркомпле́ксные чи́сла — гиперкомплексные числа вида «a + j · b», где a и b — вещественные числа и [math]\displaystyle{ j^2 = 1, }[/math] причём j ≠ ±1.

Определение

Алгебраическое определение

Любое гиперболическое число можно представить как упорядоченную пару вещественных чисел [math]\displaystyle{ (x, y). }[/math] Сложение и умножение определяются по правилам:

[math]\displaystyle{ (x,y) + (x',y') = (x + x',y + y'), }[/math]

[math]\displaystyle{ (x,y) \cdot (x',y') = (x x' + y y',x y' + y x'). }[/math]

Числа вида [math]\displaystyle{ (a,0) }[/math] отождествляются с вещественными числами, а [math]\displaystyle{ j = (0,1). }[/math] Тогда соответствующие тождества принимают вид:

[math]\displaystyle{ (x + j y) + (x' + j y') = (x + x') + j(y + y'), }[/math]

[math]\displaystyle{ (x + j y) \cdot (x' + j y') = (x x' + y y') + j(x y' + y x'). }[/math]

Матричное представление

Гиперболические числа можно представить как матрицы из вещественных чисел, при этом сложению и умножению гиперболических чисел будут соответствовать сложение и умножение соответствующих матриц:

[math]\displaystyle{ j = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, }[/math]

[math]\displaystyle{ x + j y = \begin{pmatrix} x & y \\ y & x \end{pmatrix}. }[/math]

Арифметические операции

• Сложение:

  [math]\displaystyle{ (a+bj)+(c+dj)=(a+c)+(b+d)j. }[/math]

• Вычитание:

  [math]\displaystyle{ (a+bj)-(c+dj)=(a-c)+(b-d)j. }[/math]

• Умножение:

  [math]\displaystyle{ (a+bj)\cdot(c+dj)=(ac+bd)+(bc+ad)j. }[/math]

• Деление на число, не являющееся делителем нуля:

  [math]\displaystyle{ \frac{a+bj}{c+dj} = \frac{ac-bd}{c^2-d^2} + \frac{bc-ad}{c^2-d^2} j. }[/math]

Свойства

[math]\displaystyle{ \mathrm{e}^{j x} = \operatorname{ch} x + j \operatorname{sh} x, }[/math] где sh и ch — гиперболические синус и косинус.

[math]\displaystyle{ \operatorname{sh}jx=j\operatorname{sh}x }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{ch}jx=\operatorname{ch}x }[/math]

Гиперболические числа образуют двумерную ассоциативно-коммутативную алгебру над полем вещественных чисел. Алгебра гиперболических чисел содержит делители нуля (то есть такие ненулевые элементы z и w, что zw = 0) и поэтому, в отличие от алгебры комплексных чисел, не является полем. Все делители нуля имеют вид [math]\displaystyle{ a \cdot (1\pm j). }[/math]

Если взять [math]\displaystyle{ \alpha=(1+j)/2 }[/math] и [math]\displaystyle{ \beta=(1-j)/2, }[/math] то

[math]\displaystyle{ \alpha \beta=0, }[/math] [math]\displaystyle{ \alpha^2=\alpha }[/math] и [math]\displaystyle{ \beta^2=\beta. }[/math]

Любое гиперболическое число может быть представлено как сумма [math]\displaystyle{ \alpha x + \beta y, }[/math] где [math]\displaystyle{ x }[/math] и [math]\displaystyle{ y }[/math] — вещественные числа. В таком представлении сложение и умножение производится покоординатно.

Таким образом, алгебра гиперболических чисел может быть разложена в прямую сумму двух полей вещественных чисел.

Применение

Гиперболические числа иногда применяются в релятивистской кинематике.